幾何研究的新利器　　　　　　
------《幾何專家》電腦軟體

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中國科學院　　　高小山•張景中•周咸青　　著

　　智能幾何軟體《幾何專家》，提供了幾何動態圖形變換與板塊操作，可以自動證明定理，並產生簡單、漂亮的證明，還可以自動發現幾何圖形的豐富性質。自從吳文俊教授七十年代末提出幾何定理自動證明的吳方法以來，中國學者在這方面的研究可謂異彩紛呈，成果累累，屢獲國內外大獎。幾何圖形、函數圖象、平面曲線、與軌跡圖形，可用於平面幾何、解析幾何、函數、與物理的學習與教學。作為一個定理證明器，《幾何專家》使用作者的獲獎研究成果，不僅可以證明大部分平面幾何定理、產生簡短可讀的證明，還可以自動發現幾何圖形的所有可能的性質、為使用者自動生成幾何圖形的題庫。《幾何專家》不僅可以幫助使用者解決難題、還可以教會使用者解題的方法。

一•圖形產生. 作為一個圖形軟體，《幾何專家》的主要功能如下。

1.幾何圖形生成。《幾何專家》可以用來產生、編輯、列印各種圖形。《幾何專家》圖形系統是專門為平面幾何作圖而設計的，因而能夠簡單快捷地產生幾何圖形。《幾何專家》還提供了二十次曲線作圖，為解析幾何的教學提供便利。下面是用《幾何專家》產生的四幅圖形。

2.動態圖形變換。使用《幾何專家》可以對圖形進行平移、旋轉、縮放等幾何變換，也可以拖動圖中的自由點改變圖形形狀。這些變換過程是連續表現出來的。這種動態圖形變換不僅使作圖過程變得生動活潑，而且為《幾何專家》的一些高級功能如動畫、軌跡生成、動態數值驗證提供了基礎。與圖形變換相關的另一重要功能是板塊操作。板塊操作是指對圖形的一部份進行操作。這一功能對於幾何變換、全等三角形和相似三角形等幾何知識的理解可以有幫助作用。

3.幾何量的測量。《幾何專家》可以用來測量一幅圖形中的距離、角度、及面積等幾何量，並能夠計算這些量的任意代數與初等函數表達是。這一功能可以用來驗證幾何猜想的正確性，也可以幫助使用者提出猜想。

4.用作圖形計算機。普通計算機的主要功能是可以對給定的數值進行加、減、乘、除算術運算並計算初等函數的值。例如，我們可以用它作出 log(2), 22.5, sin(30)的值。圖形計算機除具有普通計算機的功能外， 主要增加了顯示初等函數圖象的功能。例如，我們可以用它作出 log(x), x2.5, sin(x)的圖象。GEX也可以用來生成任意初等函數的圖象。作為一個圖形計算機，GEX還有下面獨特之處：

1. GEX不僅可以生成函數 y=f(x) 的圖象，還可以生成很多平面曲線 f(x,y)=0的圖象。
2. 這些圖象中的參數可以連續變化，形成諸如動態正弦波那樣生動的圖形。

下面是幾個例子。請注意，在ax+b, ax2+bx+c, 與 |AB|sin(|CD| x + |EF| )的圖形中，我們可以用鼠標拖動 a, b, c, B, D, F 各點使得 a, b, c, |AB|, |CD|, |EF| 的值連續變化，相應的圖形也會連續變化。這是普通圖形計算機所不能做到的。

5.動畫與軌跡生成。《幾何專家》不僅可以生成複雜的圖形，還可以將這些圖形的生成過程用動畫的方式表現出來。這樣可以加深學生對圖形性質的直觀了解。

利用《幾何專家》的動畫功能可以模擬一些物理現象。

例1.下面左圖形給出了拋物線的軌跡極其光學性質：由焦點發出的光線經拋物線反射後形成平行光束。

例2.地球繞著太陽轉，月亮繞著地球轉。地球在以太陽為一個焦點的橢圓上運動，而月亮繞著地球運動。地球每年繞太陽轉一圈，而月亮每月繞地球轉一圈。下面右圖是我們利用《幾何專家》的動畫功能來模擬這一運動狀態，並給出月亮的軌跡。

二•定理證明。作為一個幾何定理證明器，《幾何專家》的主要功能如下。

1.幾何定理自動證明。《幾何專家》的智能性更表現在它可以自動證明幾何定理。自從吳文俊先生七十年代末提出幾何定理自動證明的吳方法以來，這方面的研究可謂異彩紛呈、成果累累 ，屢獲國內外大獎 。《幾何專家》實現了這二十年來產生的最具代表性的定理證明方法：吳方法、面積法、演數據庫法、全角法、向量與複數法、與基法。這些方法不僅可以自動證明定理，還可以產生簡單、漂亮的證明。

例3.（垂心定理）證明三角形的三條高相交於一點。
下面是利用《幾何專家》內部語言對這一問題的描述。

命題 orthocenter 假設： 自由點 A B C; 垂足 D A B C; 垂足 E B A C; L線與L線交點 F E A F B; L線與L線交點 T A B C H; 證明：兩線垂直 A B C F.

下面是《幾何專家》用演繹數據庫法產生的證明。

1.AB⊥CF, 因為AD⊥BC, (2)∠FDB =∠FGB. 2.∠FDB =∠FGB, 因為 (3)∠DFG, ∠GBD互補（F, D, B, G共圓）。 3.∠DFG, ∠GBD互補 因為 (4)∠DFG, ∠CED互補, (5)∠GBD = ∠CED. 4.∠DFG, ∠CED互補, 因為 (6)共圓[C, D, E, F]. 5.∠GBD = ∠CED, 因為 (7)共圓[A, D, B, E]. 6.共圓[C, D, E, F], 因為EF⊥EC, FD⊥DC. 7.共圓[A, D, B, E], 因為DB⊥DA, EB⊥EA.

　　 　　演繹數據庫方法的特點是：它不僅給出了這一定理的證明，還生成了一個幾何性質的數據庫。該數據庫包含了所給幾何圖形中能由《幾何專家》內部所用幾何公理推導出來的所有幾何性質。對於垂心定理，數據庫中包含下面幾何信息。

共線 6; 垂直 3; 共圓 6; 等角關係 24; 相似三角形 7;
等比關係 105; 數據庫共包含151項幾何關係。

我們可以看到，即使像垂心定理這樣簡單的幾何圖形也有豐富的內涵。 《幾何專家》可以證明數據庫中任何一條幾何性質。這是普通的題庫所無法做到的。

2.幾何定理自動發現。《幾何專家》不僅可以自動證明定理，還可以用兩種方法自動發現幾何圖形的豐富性質：數據庫法與面積法。

（1）用數據庫法發現新定理。由演繹數據庫法獲得的數據庫中的任何一個幾何性質都可以看作“新”結果。我們的實驗表明：《幾何專家》不但能證明許多熟知的結果，同時能自動發現新定理。以與垂心定理（例1）相映的幾何構形為例，其不動點不僅包含了垂心定理的結論，而且含有另一個常見的幾何性質：∠[GE, GC]= ∠[GC, GD] 。 數據庫中還含有以下七組相似三角形：

△EDF ∼△ABF ∼△ADG ∼△EBG; 　　△DAC ∼△DBF ∼△EAF ∼△EBC;
△CAB ∼△CDE ∼△GDB ∼△GAE; 　　△DBA ∼△DFC ∼△GFA ∼△GBC;
△BDE ∼△BFC ∼△GDC ∼△GFE; 　　△EAB ∼△EFC ∼△GFB ∼△GAC;
△ACF ∼△ADE ∼△GDF ∼△GCE;

如果考慮相似三角形對的話，上面給出的實際包含42對相似三角形。

（2）用面積法發現新定理。

例4. D, E, F是三角形ABC邊BC, CA, AB上的點。令 r1=BD/DC, r2=CE/EA, r3=AF/FB. P=AD∩BE; Q=BE∩CF; R=CF∩AD. 求

　　用下面的描述可以計算

命題 thm 假設：自由點 A B C; M 比例點 D B C r1 1; M 比例點 E C A r2 1; M 比例點 F A B r3 1; L 線與 L 線交點 P A D B E; L 線與 L 線交點 Q B E C F; L 線與 L 線交點 R C F A D; 證明：（面積P Q R）﹦（面積A B C）

　　結論是

作為推論我們實際上“發現”了下面定理。
推論（Ceva定理)。 AD, BE, CF三線共點且僅當 r1r2r3=1。