去年，《數學通報》（1997年9 月）發表了儲瑞年老師的一篇題為《數學實驗室——新一代智能教育軟件》的文章。文中首次披露了教育軟件《數學實驗室》即將推出的消息，引起了許多讀者的關注。

　　這套軟件是由中國科學院成都計算機應用研究所和廣州師範學院教育軟件研究所數學與人工智能聯合實驗室研究開發的。其中由廣州師範學院方面負責開發的《立體幾何》在廣州、成都、北京、上海、澳門等地多次演示中尤其引起廣泛的興趣。作為這套軟件的策劃人和研製參加者，作者在本文中想談談開發這套軟件的基本想法，《立體幾何》軟件的許多功能特點及其開發思路。其目的是讓老師們對我們的軟件有更多的了解，讓更多的數學老師使用它，並對它提出寶貴的批評和建議，使新版本的《數學實驗室》能更好地為數學教育服務。並推進整個理科的計算機輔助教學活動的開展。

(一) 基本思路——從教師的作用看軟件的功能

　　教育軟件《數學實驗室》，是新一代智能教育軟件。它和一般的教育軟件有什麼不同呢？我們可以從比較教師的作用與教育軟件的功能說起。

　　有的廣告把教育軟件比做“家庭教師”。其實，任何軟件都不可能使計算機完全代替教師的作用。在教師的指導下，計算機才能發揮最大的作用。

　　但是，好的教育軟件能使計算機在很大程度上代替教師的簡單的重復性勞動，代替教師對學生的部分輔導工作。它在某些方面，如圖形的準確性和直觀性，推理和計算的周密性和快捷性方面，也能超過教師，就象計算器在某些方面也能超過數學家一樣。

　　隨著計算機智能研究和計算機輔助教育研究的進展，教育軟件將使計算機在更多的方面超過教師，將更多地代替教師的勞動，使教師有時間和精力進行更高級，更有創造性的工作。

　　中國唐代學者韓愈寫過一篇有名的文章《師說》，其中把教師的工作概括為三個方面﹕傳道、授業、解惑。

　　傳道，是教學生如何做人。授業，是向學生傳授知識技能。解惑，是解答學生所提出的疑問。

　　在這些工作中，哪些是計算機能做的呢？

　　教育軟件可以通過計算機讓學生閱讀、聆聽、觀看有益品德的讀物和音像，這也可以說是起了傳道的作用。但這和讀書、看電視、看電影沒有什麼大不同。

　　教育軟件可以通過計算機給學生講例題、讓學生做練習、進行模擬考試，提供知識查詢，這就是起了授業的作用。不過，好的參考書也能起類似的作用，只是用計算機要方便、快捷和親切得多。

　　至于教師的第三項任務，解惑，那就不是其他媒體能做的事了。書刊、電視、電影只能向學生展示事先編好了的內容，而不能解答學生提出的其他問題。即使這問題是在教學要求之內，只要和事先編的題目略有不同，這些媒體也不能給學生有針對性的及時的指導。

　　在這方面，計算機就可以發揮其推理、運算的功能，起到其它媒體所無法取代的作用，幫助教師為學生解惑。

　　但是，到目前大家所知道的教育軟件，主要是使計算機起傳道授業的作用，和好的書刊、電視、電影差別不大。這是因為，計算機自動推理研究的最新成果，還沒有在教育軟件的研究開發中得到充分的應用。把自動推理的成果和方法用于教育軟件，使計算機成為解題能手，就能在很大程度上起到為學生解惑的作用。

　　好的教師為學生解惑，不僅僅是像習題集那樣提供個解答。更要用生動的形象比喻來強化學生的感性認識，用舉一反三的啟發過程來激發學生的思維活動。要使教育軟件具有這樣的功能，光用自動推理的方法就不夠，還要有直觀性和交互性。

　　這直觀性和交互性應該是動態的，有智能基礎的。比如，在屏幕上用動畫顯示一個錐體被平面所截，然後出現截面，這也很直觀。設計好一系列問題讓用戶選擇答案，再根據所選答案提出問題，這也是交互性的。但是，如果這動畫、問題是軟件制作時就作好了的，固定不變的，就沒有智能性和動態性了。用戶要在屏幕上另外畫個錐體看看截面的形狀，要另外提個問題和計算機討論討論，就辦不到了。

　　在自動推理的基礎上研制開發這樣的理科教育軟件﹕它能代替教師解答課程範圍內的許多基本問題，並具有動態的直觀性和交互性，這就是我們設計教育軟件《數學實驗室》的基本思路。

　　軟件的名字《數學實驗室》表明，我們希望為教師和學生提供方便的工具和環境，讓他們通過實驗（包括圖形實驗、計算實驗和邏輯推理實驗）來體味數學，學習數學，培養數學的創造力。

　　看看數學實驗室系列軟件之一《立體幾何》，會對上面所說的這種新型教育軟件的特點有更具體的了解。

(二）信息入口——動態作圖和問題生成

　　教育軟件要讓計算機為用戶解惑，首先要讓計算機知道用戶提出的問題。這就要提供一個環境，設置一個信息入口，使用戶能方便地向電腦描述問題。

　　軟件《立體幾何》啟動時，屏幕左面的圖形窗口、上方的作圖工具圖標和作圖菜單，就是描述問題工具和信息入口。用戶可以用鼠標操作在圖形窗口作各種立體的幾何圖形。一旦用鼠標激活“新習題”圖標（或在“文件”菜單上選取“新習題”項目），便可用鼠標在圖標上移動以讀取屏幕上出現的說明來了解各圖標功能。軟件的這些作圖功能有下列特點﹕

• 菜單上的作圖命令和幾何課本上是一致的，極易掌握。例如，激活“在空間任取一點”的圖標，圖形窗口便會出現空間三維直角坐標系，用戶可以依屏幕下方的提示確定點在空間的“深度”和位置。又如“過一點作已知平面的垂線”、“作直線和平面的交點”、“作線段的中點”等，屏幕下方都會出現相應的操作提示。
• 計算機會自動記住用戶的作圖過程，並把一些關鍵性質在右面的習題窗口立刻顯示出來。當用戶在左邊窗口作出線段AB的中點C時，右邊窗口立刻出現“C是AB的中點”這句話。 在作圖過程中和圖形完成後用戶仍能隨時了解圖上每個點的來歷。只要激活“點的信息”圖標，再用鼠標指向圖上的一個點，屏幕上便會顯示這個點的性質。如“A是空間的任意點”，“M是線段BC的中點”，“P是E到平面ABC 的垂足”等等。
• 這樣畫出的圖形是動態圖形，可以變化。但在變化中它仍能保持用戶在作圖過程中所賦予它的性質。也就是說它有智能性，知道自己應當有的特點。例如，在空間任取四點，作一個空間四邊形ABCD，再取四邊中點E、F、G、H。然後用鼠標拖動點A（或B、C、D），四邊形的形狀就變了。點E、F、G、H的位置也跟著變。但不論如何變化，中點總還是中點。這便于觀察圖形在條件改變時哪些性質變了，哪些沒有變。在預習、復習、做習題和備考時，有利于加強記憶、加深理解，還能由此發現圖形的某些有趣的性質。對這個空間四邊形，用戶/.會發現其四邊中點EFGH總保持是平行四邊形的模樣（圖1）。
• 如果用戶發現所作的圖形具有某種有趣的性質，可以利用菜單把這個性質作為求證的結論提出來。例如， 上面那個圖， 可以提出EFGH是平行四邊形。在屏幕右面的窗口里，先已有了作圖的過程，這時會自動添加上求證的結論，形成一道幾何證明題。如果用戶想計算某個幾何量，如某線段長或某個二面角的大小，也可用菜單和鼠標提出。電腦會顯示出一道計算題。
• 題目中的假設條件，有時不便包含在作圖過程之中。比如剛才那個空間四邊形ABCD，本是任意四邊形。如果想加上個條件，設它的兩條對角線AC、BD互相垂直，行不行呢？也可以。用菜單和鼠標操作就能添加條件。這條件在屏幕上會用不同的顏色顯示，表明是在作圖過程之外強加的條件。

(三）核心功能——自動推理與交互解題

　　在開發《立體幾何》軟件的過程中，我們已經把兩百多條在立體幾何課程中常用的幾何知識（公理、定義、定理、公式）作為推理的規則寫進了程序。按照一定條件在作圖窗口畫出一個幾何圖形並提出求證的結論或計算的目標（也許還添加些條件）後，計算機就運用這兩百多條規則，根據作圖條件自動地進行推理，力圖解決用戶所提出的問題，並推出圖形的許多其他性質。

　　也就是說，軟件里裝的不是一個個的問題和解答，而是基本的幾何知識。用這些知識能解決的問題是無窮無盡的。用戶很容易輸入問題讓計算機解答而建立自己的圖文並茂的題庫。

• 例如，在圖形窗口畫出一個空間四邊形ABCD和四邊中點EFGH，計算機會自動推出EFGH是平行四邊形（圖1)。要是再假設ABCD的兩條對角線AC長度相等，還能進一步推出EFGH是菱形。
• ＊用戶可以用鼠標隨時查詢計算機所推出的圖形的其他性質。還可以指定其中任一條性質，問計算機這條性質是如何推出來的。計算機會把推理的過程列出。這樣，從一個幾何圖形出發，常常可以得到好幾個有趣的幾何題目。
• 這種基于自動推理的解題過程是和圖形緊密聯系的。如果在圖上點D在A、B之間，計算機計算AB長度時知道AB＝AD＋BD。 用鼠標拖動圖形使點A在B、D之間，讓計算機再來做這道題， 它就用另一個等式AB＝BD——AD了。
• 如果對推理過程中用到的規則不清楚或有疑問，計算機會進一步顯示出用戶所查詢的規則的內容。計算機還會根據用戶所指定的課程進度使用不同的規則，避免用上尚未學過的定理或公式。為了進行推理實驗或尋求不同的解題方法，用戶可以指定去掉或添加某幾條軟件中所設置的推理規則。
• 如果用戶在圖形上添一條輔助線（或輔助圓、輔助點），計算機會自動地繼續推理，把新推出的性質添到數據庫里。題目作不出來時，計算機有時會建議添加些輔助點或輔助線。（建議不一定都對。）
• 為了讓用戶自己練習解題，軟件提供了“手工解題”的環境和工具。用戶可以用鼠標操作，一步步給出自己的推理運算過程。計算機則對每一步加以評論，或同意並添加理由，或提出異議。
• 軟件還提供了比“手工解題”較容易的“交互解題”環境。用戶可以根據屏幕上提供的信息了解題目的已知條件和目前已經推出的幾何性質，並從中選取一條或幾條作為進一步推理的前提。計算機立刻根據這選定的前提應用程序內置的規則作一步推理。並把推出的信息提供出來供用戶作進一步的選擇(圖2)。 當推出了所要的結論時，計算機將按用戶所選的路線生成題解。
• 用戶作過的圖形和題目，可以打印、存盤，也可以添加說明，自動生成便于在課堂上演示的課件。

　　這種根據幾何圖形性質自動推理的功能，可以幫助學生預習、復習、解題，更便于廣思路、開眼界。也可用來幫教師備課，輔導學生課外興趣小組的活動，幫助數學奧林匹克選手提高解題技巧。具有這種推理功能的立體幾何教育軟件，此前國內外還未出現過。它對學生的幫助比一般的家庭教師要強。

（四）模擬實驗——圖形的變換和測算

　　一個立體圖形，從不同的角度看來是不一樣的。紙上和黑板上畫的立體圖形，只表現了從某一個角度看來的樣子。軟件《立體幾何》提供了空間圖形的旋轉功能。用戶在圖形窗口所畫的任意圖形，都可以用戶指定的空間直線為軸線按指定的角度旋轉或連續旋轉。這使用戶能夠從各個不同的角度來觀察立體圖形。

　　此外，《立體幾何》還有其他的圖形功能﹕

• ＊圖形的局部復制和平移。利用這個功能，可以模擬空間立體的切割。例如，用戶先畫一個三稜柱ABC--XYZ，利用局部復制功能從三稜柱圖中復制出三個四面體AXYZ、ABCZ和ABYZ，再用平移功能把這三個四面體湊成原來的三稜柱，就能很直觀地說明“稜椎體積是同底等高的稜柱體積的三分之一”的道理（圖3）。
• 圖形的空間動態測量。紙上和黑板上畫的立體圖形，無論畫得多麼生動直觀，也無法實際測量。正四面體的各稜是等長的，有公共端點的兩稜間的夾角是60度，這在紙上是不能完全表現出來的。而軟件《立體幾何》提供的測量功能，卻能測出用戶所畫的圖形中的線段的“真正”的長度、直線或平面間的夾角、多邊形的面積和周長以及立體的體積。當用鼠標拖動改變圖形時，測量的數據會自動作相應的變化，這有助于發現幾何圖形的特殊性質。例如，用戶畫一個正方形ABCD，再過A作平面ABC的垂線AP，並連接PB、PC、PD，構成一個四稜椎-ABCD。用軟件的測量功能來測PA、AB的長度和二面角B——PC ——D的大小。用鼠標拖動點P時，屏幕顯示的測量數據隨時改變。當PA 和AB長度相等時，二面角B——PC——D恰好是120度！（圖4）這就發現了一個有趣的題目。用軟件的推理功能，還可以給出這題目的解答。
• 為處理測量數據，軟件提供了功能較強的計算器。它能進行大整數計算，如求出23的1000次冪的準確值。還可以做符號計算，如求（X＋Y）的10次方，分式計算等。
• 用戶畫出的柱體、錐體和台體，可以用任意指定的平面來截，以觀察截面的形狀。例如，用正方體的一條主對角線的中垂面來截此正方體，截面是正六邊形。將正方體旋轉到適當的角度，便可看出這截面的實際形狀來（圖5）。
• 圖形可以分區染色，改變線型，增減線面，添加注解。
• 用戶畫個圓台，用鼠標拖動改變圖形，圓台會變成圓錐，也會變成圓柱。還可以顯示圓台側面的展開圖隨圓台變化而變化的情形。用戶畫個球，可以在球面上顯示經線、緯圈，測量兩點的球面距離。

　　軟件《立體幾何》，使過去在紙上和黑板上無法進行的觀察和實驗成為可能了。學生對空間幾何關系的認識將變得具體直觀。

（五）新型教育軟件應用前景的展望

　　從前面所介紹的功能可見，教育軟件《數學實驗室——立體幾何》是這樣的軟件﹕它不是題庫，但用它可以產生豐富的習題和題解；它不是圖集，但用它能構造出多種多樣仿真的立體圖形；它不是課件，但為教師提供了創造課件的有力工具。

　　教師用它備課，講課，可以節省大量簡單的、機械的重復性勞動；且有助于深化對立體幾何教材中知識體系邏輯結構的認識；有助于發掘圖形的豐富內涵。利用軟件提供的材料和推理、作圖功能，教師在確定了教學內容、教學目的和教學重點的基礎上，可以把此軟件作為設計、修改、完善教學過程的工作平台，創作高質量的教案。

　　對學生而言，軟件《立體幾何》能幫他們提高空間想象力，訓練邏輯推理能力，提高使用數學語言的水平，解決解題中的困難，加深並拓寬對幾何知識的理解與應用，也為開展課外學習活動、發揮創造力提供了用武之地。

　　我們相信，像《立體幾何》這樣的教育軟件將進入每所有計算機的中等學校和師範院校，進入每個有計算機的中學生家庭。並且，它會吸引有力購買計算機的學生家長盡快添置計算機，以便用上它。

　　新型的教育軟件不僅將促進計算機輔助教學的開展，也將推動教學方法和教材內容的改革。如何使用這種軟件備課、講課，如何指導學生使用這種軟件預習、復習和開展課外活動，將成為教師們在很長一段時期取之不盡的教學研究課題的源泉。

這些研究將產生幾類成果﹕

1.反映了教師教學經驗的課件和例題。

2.與新型教育軟件配套的中學教材和教參。

3.指導學生使用新型教育軟件的文章和書。

4.師範院校用的《計算機輔助教學》教材。

5.對教育軟件改進的設想。

　　在使用中，用戶們將會發現軟件的缺點、錯誤和不足，對軟件提出新的要求。這對我們，對從事教育軟件研究和開發的人們，又是有力的鞭策和促進。毫無疑問，軟件《立體幾何》的新版本將有更強的功能且更便于使用。物理、化學等其他課程的類似功能的教育軟件，不久也會推出。